Notação Científica

Ooi pessoal, hoje vamos ver um pouco sobre notação científica. Bom, esse conteúdo é muito necessário, e diga-se de passagem é essencial pra quem for fazer o 9º Ano em 2012. Vamos lá ne !

Notação Científica

Primeiramente, muitos devem se perguntar a função desse conteúdo, a resposta é simples : Usamos notação científica sempre que temos que calcular com números muito grandes ou muito pequenos, então usamos ela pra ''simplificar'' a conta e resolvê-la facilmente.

Exemplo 1 : Número muito grande

2300 : O primeiro conceito é que todo número tem uma vírgula na sua direita, ou seja, 2300 é a mesma coisa que 2300,0 que é a mesma coisa que 2300,000000 e assim por diante .

Bom, o que vamos fazer é tirar a vírgula desse local e passar ela pra esquerda o mais possível, e a parte inteira (parte que fica antes da vírgula) deve ser qualquer número a partir de 1 e que seja menor que 10. Em seguida basta colocar o sinal de multiplicação e uma potência de 10, em que o expoente seja a quantidade de ''casinhas'' que a vírgula andou até chegar no seu destino.

Assim : 2300 = 2,3 . 10³          -          A resposta será essa pois 2 é um número que fica entre 1 e 9, e o expoente é 3 pois a vírgula andou três casas até chegar no seu destino.

Exemplo 2 : Número muito pequeno

0,04 : Fazeremos o mesmo, só que desta vez o expoente da potência de 10 vai ser negativo, pois a vírgula irá andar pra direita, assim :

0,04 = 4 . 10-²

Entenderam ? Gostaram ? Abraços !

Regra de três

Ooi pessoal, confesso que ando um pouco sumida, mais prometo que nessas férias o blog vai estourar de postagens rs. Bom, hoje resolvi postar sobre regra de três, afinal é um conteúdo muito necessário em vestibular e provas comuns. 


Regra de três


Exemplo : Se com dois reais pago um sorvete, quantos sorvetes irei comprar com 6 reais ?


Esse é um problema fácil, mais o que espero é mostrar pra vocês o que fazer quando vocês se depararem com algo que tem duas grandezas ''preenchidas'' e outra que falta preencher um ítem. Aqui vai um tutorial de regra de três :

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Seguindo esse tutorial, vamos resolver o problema :

Primeiramente vamos montar a primeira ''igualdade'' . Com 2 reais pago 1 sorvete, assim :

Dinheiro       Quantidade de sorvete

2                      1

A segunda igualdade será :

6                      x

pois toda letra representa um valor que não conhecemos, assim colocamos que esse ''x'' corresponde a 6 reais, a tabela ficará assim :

Dinheiro       Quantidade de sorvete
2                      1

6                      x

Agora basta olhar a ordem das setas. Muitas pessoas tem dúvida nesse assunto, mais basta interpretar o problema :

''Se com 2 reais eu compro um sorvete, se eu aumentar o dinheiro, também aumentarei a quantidade de sorvete''

Então a ordem das setas são iguais, assim, teremos que colocar um ''traço'' de fração entre os números e um ''igual'' entre elas :

2/6 = 1/x

em igualdade de frações multiplicamos cruzado :

2x = 6

x = 6/2

x = 3

Assim, o x preencherá o lugar da quantidade de sorvete, portanto, com 6 reais comprarei 3 sorvetes.

Gostaram ? Abraços !

Desafio Semanal

Ooi pessoal, chegou o dia do desafio semanal. Os dois desafios foram tirados do meu livro escolar, e a matéria é Círculo e Circunferência (amo), bora ? rs

Obg : Os dois desafios são as questões ''a'' e ''b'' , ou seja, tem o mesmo enunciado.

Desafios

Calcule o valor de x e determine as medidas dos ângulos internos de cada triângulo:

Desafio 1

Desafio 2

Desafios - resoluções

Se percebermos atentamente, o ângulo 5x+5 no primeiro desafio, e o ângulo 'desconhecido' do desafio 2 são retos, ou seja, medem 90º. 

1º

basta igualar 5x+5 à 90, assim :

5x+5 = 90

5x = 90 - 5

5x = 85

x = 85/5

x = 17

Está pedindo no exercício os valores de todos os ângulos, portanto :

2x                 5x+5                     34 + 90 + y = 180

2.17              5.17 + 5                y = 180 - 90 - 34

34                 85 + 5                   y = 90 - 34

                      90                         y = 56

2º 

Neste ângulo, vamos ter que relembrar que a soma dos três é 180º, ou seja, se temos um ângulo reto sendo 90º, os outros dois somados tem que ser iguais à 90º, portanto :

x+11+6x+2 = 90

7x = 90-11-2

7x = 90-13

7x = 77

x = 77/7

x = 11

Ângulos internos :

x + 11              90           6x+2

11 + 11                           6.11 + 2

22                                  66 + 2

                                        68

Gostaram ? Abraços !

Desafio Semanal

Ooi pessoal, estão pronto pra mais 2 desafios ? Vamos lá ne, afinal, perder tempo pra que ? rs

Desafio 1

Uma calça custava R$ 240,00. Comprando esta mesma calça à vista, você ganharia 5% de desconto. Suponhando que você resolva comprá-la, quanto custará a calça à vista ?

Desafio 2

Qual é o valor de k ?

k = ((-2)²)³ + (-1)²

Desafio 1 - resolução

Tudo que é um preço normal que não sofreu alteração é 100%. Se eu recebo um desconto de 5%, quer dizer que eu estou pagando os 95% da blusa. Portanto, montando a regra de 3 :

240/ x = 100/ 95       -       em igualdade de frações, multiplicamos ''cruzado'', assim :

22800 = 100x

22800/100 = x

228 = x          -         Você pagaria R$ 228,00 na calça !

Desafio 2 - resolução

Toda potência de potência basta multiplicar os expoentes :

(-2)6  + 1           -         esse 6 é o expoente, confesso que tentei colocá-lo pequeno, mais foi uma missão impossível, quando eu conseguir eu troco rs

64 + 1

65

Gostaram ? Abraços !

Bhaskara

Ooi pessoal, que tal conhecer a fórmula de Bhaskara ? Essa fórmula é usada nas equações do 2º grau. No primeiro post vimos Delta, e hoje veremos bhaskara. Eu acredito que ela seja mais fácil, pois é uma fórmula só, assim não tem ''perigo de esquecer'' rs.


Bhaskara

Ex :


x² + 2x + 1


a = 1          b = 2          c = 1


substituindo os valores :


x = - (2) ± √ 2² - 4.1.1 / 2.1
x =  -2  ± √ 4 - 4 / 2
x =  -2 ± √0 / 2       -       todas as vezes que o resultado da raiz der zero, vamos achar só uma raiz na equação


x = -2 + 0 / 2
x = -2 / 2
x = -1


x = -2 - 0 / 2
x = -2 / 2
x = -1


Abraços !

Parabéns !

Ooi pessoal hoje não é um dia comum, hoje faz um mês que eu fiz o blog e confesso que estou muito feliz com ele, não pensei que ele iria ser o que é hoje, e diga-se de passagem, um um mês ele recebeu 544 visitas. Parabéns pro blog !


Desde quando eu fiz-o, já pensava no que preparar para esse dia. Eu sei que muito dos visitantes do blog não amam matemática rs, e eu preparei primeiramente uma coletânea de imagens que eu particularmente não sou muito fã rs, e que achei no mínimo engraçado !

Bom, depois desse desfile racista contra a matemática rs, vou mostrar através de um vídeo que encontrei por aí uma forma muito interessante de multiplicar números grandes. Bom, eu não muitas dessas pessoas que resolvem matemática com essas dicas, mais se você gostar dela, pode trocar aquele método super velho de multiplicação por esse novo.


Gostaram ?


Abraços !

Saindo da rotina

Ooi pessoal, pesquisando e pesquisando acabei encontrando uma questão que para mim tem magia rs. Não consigo e não consigo desvendar o mistério, quem conseguir poste nos comentários, mal posso descobrir!


Dois amigos compraram um ventilador de 50 reais. E resolveram ir pagando aos poucos, assim :

Lê-se : Primeiramente o amigo 1 pagou 20, e faltou 30 reais para quitar. Depois pagou 15 reais, faltou 15 para quitar e assim por diante. 


Aonde está esse 1 real ? 


Obs : De tanto insistir em observar esse 5 e 7 que é igual a 12, troquei por 4 e 8 que é igual a 12, e o que percebi é que ficaria : 


Prestação : 4            Saldo devedor : 8
Prestação : 8            Saldo devedor : 0


Somando dá : 20 + 18 + 4 + 8 = 50
Somando dá : 30 + 12 + 8 + 0 = 50


ou seja, acredito que o ''problema'' esteja na soma de 5 e 7, isso é palpite, quem quiser palpitar, comente rs. Abraços!

Desafio Semanal

Ooi pessoal, estão prontos pra mais 2 desafios semanais ? Vamos lá neh ?


Desafio 1 :


Resolva a seguinte expressão, com os seguintes valores : m = 2   a = 4   t = 8   h = 3 


(-1)² - 2math + 3³   


Desafio 2 :


Qual é o valor da expressão ³√√729 - √³√64


Desafio 1 - resolução 


Nesse desafio, basta substituir os valores da expressão, assim :


(-1)² - 2math + 3³   
(-1)² - 2 . 2 . 4 . 8 . 3 + 3³      -     depois de substituir vamos resolver as multiplicações e as potências primeiro 
1 - 4 . 4 . 8 . 3 + 27         -       todo número negativo elevado a um expoente par o resultado é mais
1 - 16 . 8 . 3 + 27
1 - 128 . 3 + 27
1 - 384 + 27
- 383 + 27
- 356


Desafio 2 - resolução


³√√729 - √³√64      -       basta começar de dentro para fora rs. Assim raiz quadrada de 729 é 27 e a raiz cúbica de 64 é 4


³√27 - √4       -     raiz cúbica de 27 é 3 e raiz quadrada de 4 é 2, assim 
3 - 2
1


O grau desses desafios foram abaixo de zero rs. Espero que tenham gostado, e aos que tentaram fazer, agradeço! Abraços!

Equações do 2º grau

Ooi pessoal, como havia prometido, iremos ver vários tipos de equações. Hoje iremos ver as equações do 2º grau. Não sei se percebem, mas equações do 1º grau, o maior expoente é o 1, então automaticamente, as equações do 2º grau apresentará o expoente 2. Luz, câmera, ação! rs


Equações do 2º grau


Esse tipo de equação vamos ter o livre arbítrio de escolher o que é mais ''fácil'' para resolver, vamos ver 3 métodos diferentes de resolução : Delta, bhaskara e 'soma e produto'.


Delta 

As 2 fórmulas de delta são :Δ = b² – 4 . a . c          -            x = – b ± √Δ / 2a

ex : A área de um retângulo é igual a 440 m². Sabendo que a medida da base e a da altura desse retângulo são números pares e consecutivos, determine seus valores.

Interpretando : A área de todo retângulo é b.h, portanto vamos fazer a área :

A = b.h        -        donde minha base é ''x + 2'' e a minha altura é ''x'' e ''a'' é a área, portanto :

440 = (x + 2) . x         -       Substiuimos os valores, pois como percebemos temos a área no enunciado do problema. (não irá alterar a resposta se você inverter a multiplicação)

440 = x² + 2x       -      quando multiplicamos bases iguais, somamos os expoentes, portanto 1 + 1 = 2 e quando multiplicamos números com letras, apenas juntamos eles.

1º passo :

Para começarmos a resolver a equação, temos que igualá-la à zero, ou seja, passar todos os termos para o 1º membro (se troca de membro, troca de sinal), assim :

440 = x² + 2x  

- x² - 2x + 440 = 0     -     sempre que a minha letra for negativa, invertemos o sinal de todos 

x² + 2x - 440 = 0

2º passo :

Vamos agora identificar cada ''parte'' da equação : ''a'' vai sempre ser o termo de expoente 2, ''b'' vai ser sempre o termo que tem a letra com expoente 1 ou invisível rs, e ''c'' vai ser o que não tem letra, assim:

x² + 2x - 440 = 0

a = 1       b = 2      c = - 440

3º passo :

Agora vamos aplicar o Delta :

Δ = b² - 4 . a . c       -      vamos agora substituir os valores 

Δ = 2² - 4 . 1 . (-440)       -      nunca podemos colocar dois sinais juntos, por isso usamos os parênteses, agora resolvendo :

Δ = 4 + 1760       -     o sinal se tornou positivo porque menos vezes menos dá mais

Δ = 1764      

4º passo :

Vamos então aplicar na 2º fórmula :

x = – b ± √Δ / 2a        -       no 3º passo afirma que o delta é igual a 1764, então vamos substituir no sinal e os números novamente :

x = - 2 ± √1764 / 2.1        -     raiz quadrada de 1764, você deverá fazer no rascunho, o resultador é 42, pois 42² = 42 . 42 = 1764

x = - 2 ± 42 / 2         -        quando aparecer o sinal ± (mais ou menos) você deverá dar uma resposta com menos e outra com mais, assim :

x = - 2 + 42 / 2                x = - 2 - 42 / 2

x = 40 / 2                         x = - 44 / 2

x = 20                              x = - 22

Não há medidas negativas em figuras geométricas, então a resposta que valerá, será x = 20

voltando ao retângulo :

                                                    

nossa resposta foi x = 20, substituindo :

 x = 20

x + 2 = 20 + 2 = 22 

assim a altura é 20 e a base é 22 

Primeiro vamos ver só Delta, depois em outra postagem vou demonstrar bháscara e soma e produto. Abraços!

Desafio Semanal

Ooi pessoal, chegou a hora do nosso desafio. Bom, esse desafio de hoje não tem muita dificuldade, fiz ele ontém em uma prova, de acordo com o que ouvi falar ninguém conseguiu acertar, o que parece ser impossível pois ele teve um grau de dificuldade 2 rs, era fácil, faltou apenas um pouco de ''jogo de cintura'', o que não lembramos na hora, e já o outro achei interessante, veja :

Desafio 1 :

Descubra o valor de x e y na figura :

Desafio 2 :

Um dos canteiros de uma praça tem a forma de um trapézio retângulo, com as medidas indicadas na figura a seguir. 

Com base nessas informações, é correto afirmar que a medida da área desse canteiro, em metros quadrados é igual a : 

A) 30

B) 36 

C) 37

D) 40

Desafio 1 - resolução

Para começar a montar a semelhança basta dividir esse triângulo em 2, ou seja, um com base 42 e lado 30 + y , e outro com base 30 e lado 30,  e depois montar a proporção com eles, assim :

Montando a proporção :

30 + y / 30 = 42 / 30       -       basta ''pegar'' os lados correspondentes, e montar a igualdade entre as frações

30 ( 30 + y ) = 30 . 42        -      na igualdade de frações multiplicamos cruzado

900 + 30y = 1260       -      basta isolar a letra agora

30y = 1260 - 900

30y = 360

y = 360 / 30

y = 12

agora para descobrir o x basta fazer :

x = 30 + y       -      x vai ser o valor de 30 + y, portanto :

x = 30 + 12     -     substituindo os valores :

x = 42 

Desafio 2 - resolução

Ao invés de você trabalhar com a figura inteira, eu acredito que seja mais fácil você dividí-la, assim :

Se você prestar atenção, podemos dividir primeiramente em um retângulo, se a base de cima é 6, embaixo também será, e o que restatá para se tornar 9 a base do trapézio é 3, então formou-se um triângulo de lados 3 e 5, então recordando ''podemos tornar como base sempre o triângulo 3 4 5'', portanto a altura é 4 m, basta agora fazer a área de cada figura :

Triângulo :                        Retângulo :

b . h / 2                             b . h

3 . 4 / 2                             6 . 4

12 / 2                                24

6 

A soma das áreas é : 24 + 6 = 30 cm² , alternativa A .

Espero que tenham gostado dos 2 desafios, semana que vem tem mais! Abraços!

Relações trigonométricas de um triângulo retângulo

Ooi pessoal, vamos hoje ver as relações que existem entre os lados e os ângulos do triângulo retângulo. São 3 relações : Seno, cosseno, tangente. Você vai usar essas relações para descobrir um lado ou um ângulo do triângulo. Antes de tudo, teremos que saber identificar o cateto oposto, o cateto adjacente e a hipotenusa.

Sempre que tivermos um ângulo ''quadrado'', o que estiver oposto a ele será a hipotenusa, portanto a hipotenusa é o lado ''p''. Os catetos, oposto e adjacente irão depender do ângulo que você está analisando. Se estamos analisando o ângulo ''a'' o cateto oposto, vai ser o lado que está oposto a ele, então o cateto oposto será o lado ''q''. O cateto adjacente será o lado que é formado pelo ângulo que estamos analisando e o ângulo ''quadrado'', ou seja, o lado ''r''.


Vamos agora às fórmulas de cada relação :


Seno = Cateto oposto / hipotenusa
Cosseno = Cateto adjacente / hipotenusa
Tangente = Cateto oposto / cateto adjacente


Agora vamos aplicar essas fórmulas :


ex : Determine a medida aproximada do ângulo em destaque :

Bom, se eu quero o ângulo, ele vai ser o x. Observando o ângulo, temos o cateto oposto que é 2,5 e o cateto adjacente que é 3, então automaticamente a fórmula que envolve ângulo, cat. oposto e cat. adjacente é a tangente. Então :


tg xº = cat. oposto / cat. adjacente        -          agora basta substituir os valores :
tg xº = 2,5 / 3         -        fazendo a conta, a resposta de 2,5 por 3 é igual a 0,83 assim :
tg xº =  0,83        -      agora basta transformar esse resultado decimal em graus, ou seja, saber a tangente de quantos graus correspondem à 0,83 .


Observando a tabela, você irá descobrir que tangente de 0,83 corresponde à 40º . Portanto o ângulo mede 40º.


Se o problema quiser o lado ao invés do ângulo é só você colocar o ângulo, aplicar a relação e colocar o lado como x e multiplicar cruzado e realizar a equação. 


Espero que tenham gostado. Abraços!

Saindo da rotina

Ooi pessoal, estava pesquisando na net até que encontrei em um site matemático a equação do amor rs. Achei muito interessante e isso é bom às vezes pra sair da rotina, daí então, sempre que eu me deparar com algo inusitado, referente é claro à matemática vou postar aqui, lembrando que essa equação pode servir de uma bela e romântica declaração de amor rs. Vamos lá!

Além de apreciar a fofura e delicadeza do autor dessa equação podemos também levá-la para um lado matemático, mesmo sendo praticamente impossível rs. 


Obs : Quando elevamos uma raiz quadrada ao quadrado, cancelamos o quadrado com o índice, e, quando se cancela o índice da raiz, cancela-se também o radical.

Espero que tenham gostado do post "Amo-te'' rs. Abraços!

Desafio Semanal

Ooi pessoal, vamos lá para o Desafio Semanal dessa semana rs. O grau de dificuldade aumentou em 100%  em relação aos dois primeiros. Os dois desafios de hoje foram tirados do livro ''Vontade de saber matemática'', foram exercícios comuns que eu resolvi na escola e adorei. Vamos lá! Boa sorte!

Desafio 1 :

Determine a área do triângulo:

Desafio 2 :


No alto de um bambu vertical está presa uma corda. A parte da corda em contato com o solo mede 2 m. Quando a corda é esticada, sua extremidade toca no solo a uma distância de 7 m do pé do bambu, conforme mostra a figura abaixo:

Vamos às resoluções :


Desafio 1 - resolução


Bom, se eu quero a área do triângulo, preciso da base e da altura. Para descobrir a base, que vai ser o cateto oposto, vamos ''jogar'' seno de 30º, assim :


Seno30º = cateto oposto/hipotenusa    -    o seno de 30 vale 1/2 (Para descobrir o 1/2, basta consulta a tabela trigonométrica)


1/2 = x/4      -      substituindo os valores, seno vale 1/2 e 4 é a hipotenusa porque o raio de dois é o mesmo se virarmos a sua inclinação, então somando 2 e 2 = 4


2x = 4      -      quando temos uma igualdade entre frações, multiplicamos cruzado


x = 4/2


x = 2     -    portanto a base é 2


Vamos agora à altura, que vai ser o cateto adjacente, assim, podemos fazer tangente:


tangente30º = cateto oposto/cateto adjacente     -      tangente de 30º vale √3/3


√3/3 = 2/x 
x√3 = 6
x = 6/√3        -       quando temos uma raiz quadrada no denominador, devemos racionalizar, a racionalização é assim :


6/√3 = 6/√3 . √3/√3 = 6√3/√9 = 6√3/3 = 2√3 , portanto a altura é 2√3


(O que eu fiz ? Eu repeti a fração e coloquei ela multiplicando com o radical do denominador no numerador e no denominador, e multipliquei normalmente)


Agora, calculando a área do triângulo b.h/2 , temos :
2.2√3/2 = 4√3/2 = 2√3 cm²


Desafio 2 - resolução 


Bom, primeiramente, vamos interpretar : eu quero a altura, sabendo que quando a corda estava somente pendurada, ela media x, que corresponde exatamente com a altura do bambu e mais 2 m porque sobrou ''ponta'' embaixo, portanto, a altura do bambu é x, e a corda mede x+2


aplicando teorema de pitágoras, para saber o valor de x, temos :


a² = b² + c²   ( a = hipotenusa, b = cateto, c = cateto) , assim :
(x + 2)² = 7² + x²    (produtos notáveis)
x² + 4x + 4 = 49 + x²
x² - x² + 4x = 49 - 4 
4x = 45
x = 45/4
x = 11, 25 


Portanto, a altura do bambu é de 11, 25 m !


Espero que tenham gostado, semana que vem, mais 2 desafios. Abraços!